Дело в том, что очень часто знания по математике преподаются нам в отрыве от реальных примеров. Все эти сложные формулы, графики и теории в таком свете кажутся иностранным языком. Никаких целей, никакой мотивации. И даже если ты учишься на экономическом факультете, то твоя математика выглядит как что-то отдаленное от экономики. Увы.
Но в этой статье будет несколько примером практического применения математики. Считай, забавляйся, будь как Архимед и Декарт вместе взятые.
Инфляция. Сколько нужно зарабатывать?
В России инфляция с начала 2020 года составляет 2,87%. Вы удивлены? Я тоже. И хоть у меня произошли значительные изменения в корзине товаров, измерение инфляции Росстатом, по-моему, далеки от реальности. Как вы думаете?
Но вот вам задача. Допустим, инфляция составляет 10%. Инвестор хочет получать 10% дохода с учетом инфляции, т.е. инвестору нужно зарабатывать 10% сверх инфляции.
Банальное, что приходит на ум — это 20%, из которых 10% идут на покрытие той самой инфляции и еще 10% как раз чистый доход. Но как бы не так…
Если у вас есть 1000 рублей, то через год для покупки того же количества товара вам потребуется 1100 рублей. И вот от этой суммы нужно считать желаемый чистый доход: 1100*10/100+1100 = 1210.
Получается, чтобы в таких условиях иметь чистый доход в 10%, нужно заработать 21%, а не 20. Это сложней. Подкрутите еще повыше инфляцию и там будет все 25%. Реально ли из года в год такое делать? Вот и барахтаемся в этой инфляции. Как бы ее обогнать.
Расчет доходности и вопрос рисков
Как посчитать среднегодовую доходность за несколько лет? Допустим, в первый год доходность составляет 20%, за второй 30%, а за третий 10%. Просто сложить все эти доходности и разделить на 3. Получится 20%. Такая будет средняя доходность за год. Мы вычислили среднюю арифметическую величину, которая дают очень большую погрешность в некоторых ситуациях.
1. Торгует трейдер на протяжении 3 лет. 1 год + 70%, 2 год + 80%, 3 год — 100%. Слился наш торгаш. Какая среднегодовая доходность?
(60+80-100)/3 = 16,66%. Столько нам приносит этот трейдер. Можно смело говорить, что его среднегодовая доходность 13,33%, а про то, что он сливает — лучше умолчать. Бестолковая оценка, сами видите.
2. Вы купили акцию по 100 рублей. Через год она выросла на 100%, на второй год она потеряла в цене 50%. Среднегодовая доходность получается 75%. Опять промах.
Купили акцию по 100 рублей, через год она стала стоить 200 рублей. Еще через года она потеряла 50% в цене, а значит, упала до 100 рублей. Вы оказались в нулевой точке. Но арифметическая средняя рисует вам доход. Все дело в том, что проценты доходности в новом периоде имеют новую точку отчета, и это в корне все меняет.
Гораздо практичнее, хоть и немного сложней, использовать среднюю геометрическую. При таком подходе результат всегда будет ниже средней арифметической, и он является более отрезвляющим. Среднюю геометрическую в рекламе вы не увидите.
Перемножаем доходности за периоды и извлекаем корень, который равен количеству этих периодов. Пример:
1 год +20, 2 год +45, 3 год -15.
120*145*85 = 1 479 00, извлекаем кубический корень из этого числа и получаем 113, 935. Остается вычесть 100, и наша среднегодовая доходность будет 13,93%. Средняя арифметическая дала бы 16,66%. Нехилая погрешность. А вот еще пример.
1 год +15, 2 год +40, 3 год + 10%.
Средняя геометрическая = 20,98%
Средняя арифметическая = 21,66%
В этом случае доходность различается не сильно, но если суммы большие, то это ощутимо. Считайте доходность правильно.
Ну и еще заденем вопрос управления рисками при трейдинге. Когда вы открываете позицию с риском 2% на сделку и депозитом 1000$, ваш убыток составит 20$. Сколько теперь нужно заработать, чтобы вернуться к первоначальному депозиту? Обычно, отвечают 2%. И это близко к правде, но не точно.
Ваш депозит теперь 980$, чтобы их превратить в 1000$, нужно заработать 2,04%. Можно сказать, что особой разницы нет… но эта разница будет проявляться больше с увеличением риска.
Если риск на сделку 5%, то для того, чтобы хотя бы ВЕРНУТЬ депозит, потребуется 5,25%. При риске в 10% требуется заработать 11%. Именно поэтому очень критично потерять 50% от депозита, потому что потребуется сделать 100% доходности, чтобы вернуться в первоначальную точку.
На чьей стороне вероятность?
Сейчас покажу фокус, в который сам не поверил, когда первый раз на него наткнулся. Изящество теории вероятностей и никакой магии.
Предлагаю вам следующее пари: мы бросаем два кубика. Если хотя бы на одном из них выпадает 5 или 6, то выигрываю я, в остальных случаях выигрываете вы. Сыграем?
Почему вам нужно сыграть: 1 кубик — это 6 граней. Ваш выигрыш в случае выпадения 1,2,3,4, т.е. это 4 вариант из 6. Два кубика — это 8 вариантов из 12. Так? Получается, что вы будете выигрывать 8\12 = 2\3, 2 раза из 3, а проигрывать только лишь 1 раз из 3. Как бы не так…
Всего возможных комбинаций из двух кубиков 36 (6*6). Комбинация — это, к примеру, 1-5, 4-2. По-другому, все возможные события с этими двумя кубиками. Давайте занесем все эти исходы в одну таблицу:
Крестиком я пометил ситуацию, когда первом кубике выпало 2, а на втором 4. Теперь давайте я отмечу крестиками все исходы, при которых вы проиграете и занесу это в таблицу.
Это все возможные комбинации, при которых проиграете вы и выиграю я. Если мы посчитаем количество этих комбинаций, то получим число 20. Для вас только 16 случаев из 36 являются выигрышными, т.е. вероятность вашего выигрыша составляет 44,4%, хотя с первого взгляда кажется, что количественное преимущество именно на вашей стороне. Это еще хуже, чем ставить на европейской рулетке на красное\черное, потому что ваша вероятность выиграть в этом случае составит 48,6%.
Итоги
И хоть наш мир далеко не линеен, математика объясняет много событий, которые, на первый взгляд, кажутся чем-то случайным. Благодаря математике можно строить и прогнозировать модели поведения людей, управляться с большим потоком данных и ввязываться только в то, где у вас есть хотя бы какое-то преимущество.
Вся коммерческая деятельность не может существовать без математики. И если вы стремитесь к росту доходов, вы волей-неволей погружаетесь в расчеты и мат. модели. Чтобы не провалиться на финансовом поприще, ваши знания должны быть больше, чем «один, два и много».
Более того, если вы такой же гуманитарий как и я, занятия математикой быстро развивают мозг. Потому что это очень больно и некомфортно — значит, зона роста. Но углубляйтесь в сухой матан, изучайте его в контексте интересующей сферы. Тогда все получится.
С уважением, Лоев Никита
